Historia del calculo

 

Newton concibió dos conceptos matemáticos revolucionarios: el de derivada e integral. La derivada se relaciona con la evolución en el tiempo de magnitudes como la velocidad y la aceleración. Es una tasa de cambio instantánea, que indica de qué manera (cómo de rápido) se están modificando las magnitudes. En geometría, la derivada permite calcular las pendientes de curvas y, en consecuencia, la recta tangente a una curva dada.

Por otro lado, la integral se emplea para calcular áreas y volúmenes, así como encontrar centros de gravedad de cuerpos. Lo sorprendente es que ambas nociones están relacionadas por una de las más bellas expresiones de las matemáticas, el teorema fundamental del caculo infinitesimal, que afirma que la derivación y la integración son operaciones inversas; es decir, al aplicarlas sucesivamente se vuelve al valor de inicio.

En 1669 Newton entregó a su mentor, Isaac Barrow, un manuscrito, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, en el que aparecen por primera vez las bases del nuevo cálculo diferencial. En él, Newton expone un método aproximado para resolver ecuaciones, hoy llamado método de Newton-Rapshon y enuncia y demuestra una fórmula para calcular para el área encerrada por una parábola generalizada. Esta expresión ya había sido hallada antes por otro matemático inglés, John Wallis (1616-1703), pero la novedad introducida por Newton radicaba en las técnicas usadas, que él llamaba “método de las fluxiones” y el “método del inverso de las fluxiones”.

Sus aportaciones al cálculo diferencial.

• Su teoría se basó en los infinitésimos.
• Mediante la analización de problemas científicos y matemáticos creo el cálculo.
• Dentro del cálculo diferencial: estableció la resolución de problemas para los máximos y mínimos, así como de las tangentes.
• Trataba a la derivada como un cociente incremental (diferenciales), y no como una velocidad.

Aportaciones al cálculo integral

• Logró la resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante.
• Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la isócrona y de algunas otras aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales.

Trayectoria.

• Demostró las ventajas de utilizar el sistema binario en lugar del decimal en las computadoras mecánicas.
• construyó una máquina aritmética que realizaba las cuatro operaciones básicas y calculaba raíces cuadradas.

Fermat hizo grandes aportaciones al cálculo diferencial, a la teoría de probabilidades y a la geometría analítica. Sin embargo, se le conoce más por sus aportaciones a la teoría de números, en especial por el conocido como último teorema de Fermat que mantuvo en vilo a la comunidad matemática durante casi 350 años.

Se sabía que a Fermat le gustaba escribir anotaciones sobre problemas y sus soluciones en los márgenes de los libros y fue así como en su ejemplar del texto griego de la aritmética de diofanto se encontró lo siguiente:

“Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente, pero este margen es demasiado pequeño para que quepa en él"

Así, este texto animó a matemáticos de varias generaciones a intentar, sin éxito, demostrar el enunciado del teorema de Fermat. No fue, hasta 1993 que Andrew Wiles presentó rodeado de secretismo (después de 8 años de investigación en solitario) la demostración del famoso teorema.

Euler enunció el teorema que dice que un polinomio algebraico de grado n tiene n raíces de la forma a+bi, que ahora se conoce como el teorema fundamental del álgebra. Su prueba de 1751 tuvo algunas omisiones, que luego fueron corregidas por Gauss. Euler también intentó derivar una fórmula exacta para las raíces del polinomio de quinto grado, y sus fallas lo llevaron a métodos de aproximación de análisis numérico. 

Aunque muchos matemáticos habían estudiado series infinitas, Euler fue inusualmente exitoso en su cálculo, obteniendo fórmulas simples para sumas de recíprocos de potencias pares de enteros. A través de estos estudios, Euler estudió funciones especiales (como las funciones de Bessel) y descubrió la constante de Euler para la aproximación de la serie armónica. Hizo un gran uso de las series de potencias e introdujo series trigonométricas antes que Jean Batiste Joshep Fourier como herramienta analítica. Euler creía que las series divergentes podían ser útiles, y este esfuerzo llegaría a buen término mucho más tarde, en el siglo XX. 

Euler presentó la idea de que el análisis matemático es el estudio de las funciones; para este fin, definió más claramente el concepto de función, que se aproxima mucho a la noción moderna. A través de la consideración del logaritmo de los números negativos, Euler llegó a un entendimiento de la exponenciación de números imaginarios, derivando muchos hechos elementales cruciales. Avanzó en el conocimiento de los números complejos, descubriendo las ecuaciones diferenciales que relacionan las partes real e imaginaria de una función analítica. Euler aplicó sus técnicas al cálculo de integrales reales.

Johann (1667-1754) sustituyó a su hermano como catedrático de matemáticas en la Universidad de Basilea, cargo que ocupó durante más de cuarenta años. Allí tuvo como discípulos a Leonard Euler y Johann Samuel König .

Transformó la ecuación diferencial de su hermano en una ecuación lineal de primer orden, integró ecuaciones diferenciales y descubrió teoremas adicionales para funciones trigonométricas e hiperbólicas.

Se centró en el calculo infinitesimal y resolvió la ecuación diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano. 

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden , formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable , esta ecuación es de la forma

donde  y  son funciones continuas en un intervalo abierto  con .

Jacob I fue uno de los primeros en desarrollar el cálculo más allá del estado en que lo dejaron Newton y Leibniz y en aplicarlo a nuevos problemas difíciles e importantes. Sus contribuciones a la geometría analítica, a la teoría de probabilidades y al cálculo de variaciones fueron de extraordinaria importancia. Tenemos ya una muestra del tipo del problema tratado por el cálculo de variaciones en el teorema de Fermat sobre el tiempo mínimo. La matemática del problema se reduce a hacer que una cierta integral tome un valor máximo sometido a una condición restrictiva. Jacob I resolvió este problema y lo generalizó. El hecho de que la cicloide es la curva de más rápido descenso fue descubierto por los hermanos Jacob I y Johannes I en 1697, y casi simultáneamente por varios autores Durante un viaje a Inglaterra en 1676, Jakob Bernoulli conoció a Robert Boyle y Robert Hooke. Este contacto le inspiró una dedicación vitalicia a la ciencia y la matemática. Fue nombrado Lector en la universidad balisea en 1682 y fue nombrado Profesor de Matemáticas en 1687.

En 1690 se convirtió en la primera persona en desarrollar la técnica para resolver ecuaciones diferenciales separables.

Se familiarizó con el calculo mediante su correspondencia con Gottfried Leibniz, y colaboró con su hermano Johann en varias aplicaciones, siendo notable la publicación de artículos en curvas transcendentes  (1696) e isoperimetria (1700, 1701).

Su obra maestra fue Ars Conjectandi (el Arte de la conjetura), un trabajo pionero en la teoría de la probabilidad.

Obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió así mismo numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas.

Principales aportes a la matemática

• ·Teorema del valor medio de Lagrange.
• ·Fue el padre y creador del cálculo de variaciones.
• ·Multiplicadores de Lagrange.
• ·Polinomio de Lagrange.
• ·Encontró la solución completa del problema de una cuerda que vibra transversalmente.
• ·Creó la idea de ecuaciones generalizadas de movimiento, ecuaciones que demostró formalmente.
• ·Descubrió los llamados puntos de Lagrange (astronomía).
• ·Teoría del movimiento planetario.
• ·Teoría de eliminación de parámetros.
• ·Solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado.
• ·Contribuyó al cálculo de diferencias finitas con la fórmula de interpolación de Lagrange.
  
• ·Aportes a la Teoría de Números y la resolución de ecuaciones algebraicas, que sentaron las bases para la teoría de grupos.

D'Alembert abordó la Matemática a través de la Física con el Problema de los tres cuerpos (las relaciones entre las fuerzas y los movimientos correspondientes del Sol, la Tierra y la Luna). En su obra Reflexiones sobre la causa general de los vientos, desarrolló la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales.

“Fue pionero de las ecuaciones diferenciales y de su uso en la Física“

Mejoró el cálculo integral, fue pionero en el estudio de ecuaciones diferenciales y de su uso en la física, y uno de los primeros en comprender la importancia de las funciones. El Teorema Fundamental del Algebra recibe en algunos países el nombre de teorema de d'Alembert - Gauss dado que el matemático francés fue el primero en dar una prueba casi completa sobre dicho teorema.

También estudio la estática y la dinámica de fluidos y las cuerdas vibrantes, resolvió el problema de las perturbaciones de los movimientos de los planetas, debidas a la presencia de otros astros, y explicó la precesión de los equinoccios y la nutación del polo de la Tierra, movimientos de oscilación del eje terrestre similares al de una peonza cuando pierde su fuerza y está a punto de caerse.

En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas.

Dio al cálculo diferencial la forma que tiene hoy. Fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

Publicó con regularidad durante los 45 años de su vida científica sobre aritmética, física, álgebra, análisis, estadística, geometría, mecánica, etc. Autor de Analyse Algébrique, (1822) entre otros 789 escritos. Cuando estalló la Revolución de 1830, abandonó París y después de un corto tiempo en Suiza aceptó una oferta del Rey de Piedmont para realizar una cátedra en Turín donde estuvo hasta 1832.

Durante el siglo XX, a Dedekind se le ha conocido sobre todo por su aportación a los fundamentos del sistema numérico (definiciones de los números reales y naturales), pero su principal contribución como investigador fue en el terreno del álgebra y sobre todo la teoría de números algebraicos.

Rodrigo Said tapia Castillo 507